五、高级排序---归并排序

一、 排序原理

1. 尽可能的一组数据拆分成两个元素相等的子组，并对每一个子组继续拆分，直到拆分后的每个子组的元素个数是1为止。
2. 将相邻的两个子组进行合并成一个有序的大组；
3. 不断的重复步骤2，直到最终只有一个组为止。

1. 运用分治思想

2. 排序

二、代码实现

public class Merge {
    //归并所需要的辅助数组
    private static Comparable[] assist;

    /*
       比较v元素是否小于w元素
    */
    private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w)<0;
    }

    /*
    数组元素i和j交换位置
     */
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }


    /*
           对数组a中的元素进行排序
        */
    public static void sort(Comparable[] a) {
        //1.初始化辅助数组assist；
        assist = new Comparable[a.length];
        //2.定义一个lo变量，和hi变量，分别记录数组中最小的索引和最大的索引；
        int lo=0;
        int hi=a.length-1;
        //3.调用sort重载方法完成数组a中，从索引lo到索引hi的元素的排序
        sort(a,lo,hi);
    }

    /*
    对数组a中从lo到hi的元素进行排序
     */
    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        //做安全性校验；
        if (hi<=lo){
            return;
        }

        //对lo到hi之间的数据进行分为两个组
        int mid = lo+(hi-lo)/2;//   5,9  mid=7

        //分别对每一组数据进行排序
        sort(a,lo,mid);
        sort(a,mid+1,hi);

        //再把两个组中的数据进行归并
        merge(a,lo,mid,hi);
    }

    /*
    对数组中，从lo到mid为一组，从mid+1到hi为一组，对这两组数据进行归并
     */
    private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
        //定义三个指针
        int i=lo;
        int p1=lo;
        int p2=mid+1;

        //遍历，移动p1指针和p2指针，比较对应索引处的值，找出小的那个，放到辅助数组的对应索引处
        while(p1<=mid && p2<=hi){
            //比较对应索引处的值
            if (less(a[p1],a[p2])){
                assist[i++] = a[p1++];
            }else{
                assist[i++]=a[p2++];
            }
        }

        //遍历，如果p1的指针没有走完，那么顺序移动p1指针，把对应的元素放到辅助数组的对应索引处
        while(p1<=mid){
            assist[i++]=a[p1++];
        }
        //遍历，如果p2的指针没有走完，那么顺序移动p2指针，把对应的元素放到辅助数组的对应索引处
        while(p2<=hi){
            assist[i++]=a[p2++];
        }
        //把辅助数组中的元素拷贝到原数组中
        for(int index=lo;index<=hi;index++){
            a[index]=assist[index];
        }

    }

}

三、时间复杂度分析

 归并排序是分治思想的最典型的例子，上面的算法中，对a[lo…hi]进行排序，先将它分为a[lo…mid]和a[mid+1…hi]两部分，分别通过递归调用将他们单独排序，最后将有序的子数组归并为最终的排序结果。该递归的出口在于如果一个数组不能再被分为两个子数组，那么就会执行merge进行归并，在归并的时候判断元素的大小进行排序。

 用树状图来描述归并，如果一个数组有8个元素，那么它将每次除以2找最小的子数组，共拆log8次，值为3，所以树共有3层,那么自顶向下第k层有2^k个子数组，每个数组的长度为2^(3-k)，归并最多需要2^(3-k)次比较。因此每层的比较次数为 2^k * 2^(3-k)=2^3,那么3层总共为 3*2^3。

 假设元素的个数为n，那么使用归并排序拆分的次数为log2(n),所以共log2(n)层，那么使用log2(n)替换上面32^3中的3这个层数，最终得出的归并排序的时间复杂度为：log2(n) 2^(log2(n))=log2(n)*n,根据大O推导法则，忽略底数，最终归并排序的时间复杂度为O(nlogn);

 归并排序的缺点：
需要申请额外的数组空间，导致空间复杂度提升，是典型的以空间换时间的操作。

 归并排序所需的时间和 NlgN 成正比

四、改进方案

详细见：算法（第四版）P174~P175

1. 使用插入排序处理小规模的数组（比如长度小于15的数组）一般可以把归并排序的时间缩短10%~15%
2. 添加一个判断，如果a[mid] <= a[mid+1] ,即可认为数组已经有序的，并跳过merge()方法。
3. 可节省将辅助数组复制到原数组的时间
   方法：调用2种排序方法：一种将数据从输入数组排序到辅助数组，一种将数据从辅助数组排序到输入数组。